La vida de Leonhard Euler se lee como un sueño febril de brillantez: un erudito del siglo XVIII que, a pesar de quedar ciego, se convirtió en el matemático más prolífico de la historia. Nacido en Basilea, Suiza, en 1707, Euler fue un prodigio criado por el legendario Johann Bernoulli. A los 13 años, ya estaba matriculado en la Universidad de Basilea, y a los 20, publicaba trabajos pioneros en matemáticas y física.
La carrera de Euler despegó en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde sucedió a Daniel Bernoulli como catedrático de matemáticas. Allí, comenzó a producir una avalancha de trabajos que definirían campos enteros: cálculo, teoría de números, mecánica, astronomía e incluso teoría musical. Su obra de 1748, Introductio in analysin infinitorum, introdujo el concepto moderno de función y sentó las bases de la geometría analítica. También nos dio la notación f(x), la constante e y popularizó π, símbolos que ahora están presentes en todos los libros de texto de matemáticas.
Pero el genio de Euler no se limitó a los símbolos. Resolvió el famoso problema de los Siete Puentes de Königsberg, fundando así la teoría de grafos. Abordó el problema de los tres cuerpos en mecánica celeste, avanzó en la dinámica de fluidos e incluso ayudó a la Armada Británica a calcular tablas lunares para la navegación. Su Mecánica (1736) reformuló las leyes de Newton mediante ecuaciones diferenciales, revolucionando la mecánica clásica.
En 1735, Euler perdió la visión de un ojo debido al exceso de trabajo. Para 1766, estaba completamente ciego. Sin embargo, sorprendentemente, su productividad aumentó. Con la ayuda de escribas y su prodigiosa memoria, dictó casi la mitad de sus 866 obras publicadas después de quedarse ciego. Sus cálculos mentales eran tan precisos que en una ocasión recalculó mentalmente toda la órbita lunar.
La vida personal de Euler fue igualmente rica. Tuvo 13 hijos (cinco sobrevivieron a la infancia), mantuvo correspondencia con la realeza y escribió Cartas a una princesa alemana, una lúcida explicación de la física y la filosofía para el público general. Murió en 1783 en San Petersburgo, supuestamente resolviendo un problema de matemáticas pocas horas antes de morir.
El legado de Euler es asombroso. Su nombre adorna docenas de teoremas, fórmulas y constantes. Pierre-Simon Laplace dijo una vez: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros». En un mundo obsesionado con la innovación, Euler nos recuerda que el verdadero genio no solo reside en el descubrimiento, sino en la claridad, la elegancia y la curiosidad incansable.
Una tarde de mediados de septiembre de 1955, John Nash llegó tarde al aula magna del MIT para su conferencia sobre “Análisis matemático para ingenieros”, una asignatura que también era obligatoria para los estudiantes de doctorado especializados en física.
Sin saludar a nadie con la mirada ni con una palabra al entrar, con expresión arrogante y aburrida, sin reparar en el calor sofocante del día, cerró todas las ventanas para poder oír mejor el sonido de su propia voz y evitar que los ruidos externos distrajeran a los estudiantes.
Abrió de golpe su ejemplar de “Cálculo avanzado para ingenieros” de F. B. Hildebrand y comenzó una conferencia sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.
Mientras seguía hablando con su voz monótona y soporífera, el aula se volvió sofocante.
Los estudiantes comenzaron a abanicarse en señal de protesta.
Entonces, primero uno, y luego varios estudiantes se animaron e interrumpieron al profesor, pidiendo permiso para abrir las ventanas.
Nash hizo como si nada hubiera pasado, los ignoró por completo, sin mostrar reacción alguna.
Estaba tan absorto en sí mismo que no escuchó las peticiones de sus alumnos.
Su actitud fría e indiferente parecía decir:
“Callaos y tomad notas”.
En ese momento, Alicia Larde, una de las dos estudiantes de física de la clase de ese año, tomó las riendas de la situación, se puso de pie sobre unos vertiginosos tacones, corrió hacia las ventanas y las abrió de par en par, girando la cabeza cada vez para mirar a Nash.
De vuelta a su asiento, miró directamente a los ojos de Nash, casi retándolo a hablar y cerrar las ventanas.
Pero no lo hizo.
Así comenzó una de las historias de amor más fascinantes e improbables del siglo pasado, entre dos personas aparentemente a años luz de distancia.
Un amor que, entre altibajos, entre triunfos académicos y oscuros periodos de lucha contra la enfermedad que azotó al genial matemático estadounidense en varias ocasiones durante más de 30 años, duró 60 años, hasta aquel trágico 23 de mayo de 2015.
Aquel día, Nash y su mujer Alicia (que se casó en 1957, se divorció y luego se reunió años después y volvió a casarse) fallecieron juntos en un accidente de coche.
Iban a bordo de un taxi en la Turnpike, una carretera muy ancha, de más de diez carriles, que atraviesa Nueva Jersey.
El taxista perdió el control de su Ford Crown Victoria al intentar adelantar a un Chrysler y se estrelló contra el guardarraíl.
El premio Nobel y su mujer, que al parecer no llevaban puesto el cinturón de seguridad, salieron catapultados fuera del coche.
En un trágico giro del destino, el taxi los llevaba a casa desde el aeropuerto, regresando de la ceremonia del Premio Abel, que Nash y Louis Nirenberg habían ganado por sus descubrimientos que “produjeron técnicas robustas y versátiles que se han convertido en herramientas esenciales para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales”.
Singapur recuperó el primer puesto a nivel mundial en rendimiento en matemáticas, lectura y ciencias entre los estudiantes de escuela en las pruebas PISA de 2022, que miden los resultados de los escolares de países en todo el mundo. Los escolares de la pequeña ciudad-estado asiática consiguieron los mejores resultados en las pruebas del Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos (PISA, por sus siglas en inglés), que cada tres años realiza la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). El propósito de estas pruebas es medir las habilidades y conocimientos de los estudiantes de 15 años en lectura, matemáticas y ciencias. El país asiático ha tenido históricamente mucho éxito, en particular en matemáticas. En este aspecto, la brecha entre el primer y segundo lugar fue de 39 puntos, según el reporte publicado el martes. Gran parte del éxito se atribuye a la forma en que se imparte esta materia.
En matemáticas, uno de los tres ejes principales de análisis de PISA 2022, los estudiantes de 15 años de Singapur obtuvieron 575 puntos, por encima del promedio de 472 puntos de los 81 países participantes. Las autoridades de Singapur creen que la educación matemática desempeña un papel crucial para enseñar a las personas a pensar de manera lógica y analítica, por lo que desde temprana edad, los niños singapurenses aprenden a desarrollar procesos matemáticos críticos que implican tareas de razonamiento, comunicación y formulación de modelos. El enfoque característico de la enseñanza de las matemáticas en el país se conoce comúnmente como el “método Singapur” (o Mastery Approach, “enfoque de maestría”). Originalmente desarrollado en la década de 1980 por el Ministerio de Educación de Singapur para las escuelas públicas del país, plantea un cambio de enfoque respecto a la enseñanza tradicional y pasa de la memorización a una comprensión más profunda de lo estudiado. En las últimas décadas, ha sido ampliamente adoptado y adaptado en todo el mundo.
Hay dos ideas fundamentales que subyacen al método de matemáticas de Singapur: el enfoque Concreto, Pictórico, Abstracto (CPA) y la noción de dominio. El enfoque CPA no es exclusivo de las matemáticas de Singapur y fue desarrollado por el psicólogo estadounidense Jerome Bruner en la década de 1960. Se basa en la idea de que los niños o incluso los adultos pueden encontrar las matemáticas difíciles porque son abstractas. Por lo tanto, el enfoque CPA introduce conceptos abstractos de una manera tangible y solo luego progresa a temas más complejos.
En las matemáticas de Singapur, los niños siempre hacen algo concreto. Pueden tener cubos para la suma y juntarlos; pueden hacer algo pictórico; pueden tener algunas imágenes de flores que juntan, o personas o ranas o algo que sea más fácil de relacionar y manejar que solo números.
El enfoque CPA proporciona así una forma de entender las matemáticas a través de estas representaciones. Una vez que los niños demuestran que tienen una comprensión sólida de las etapas concretas y pictóricas del problema matemático, luego avanzan a una etapa abstracta de aprendizaje. El método no depende de la memorización.
Otro pilar del “método de Singapur” es la noción de “dominio”, la idea de que todos los estudiantes en la clase avanzan juntos, asegurando que nadie se quede rezagado. Por ejemplo, cuando los niños aprenden un tema específico como la suma, algunos pueden comprenderlo más rápidamente que otros. Sin embargo, en lugar de pasar a esos estudiantes a un tema completamente diferente, se les asignan actividades adicionales relacionadas con el mismo tema para profundizar su comprensión. Esto no significa que todos tengan que detenerse y esperar hasta que cada estudiante se ponga al día. La idea es que si algunos niños tienen una comprensión muy buena de la suma, el profesor no los llevará directamente a la resta, sino que les dará algo que amplíe un poco más el concepto de suma. Estas actividades pueden consistir en trabajar con números mayores o en formatos diferentes. Así, los niños que tienen una mejor comprensión resolverán los mismos tipos de problemas que el resto de la clase, pero lo harán de una manera diferente.
En las matemáticas de Singapur es crucial que los estudiantes perciban la materia como importante y accesible. La idea es que todos sean capaces de hacer matemáticas y todos deberían poder dominar ese concepto hasta cierto grado. Algunos pueden ser más rápidos, algunos pueden profundizar un poco más en lo que entienden… A menudo pensamos que algunas personas entienden las matemáticas y otras no; eso no es lo que creo ni lo que subyace en el método de Singapur.
El método ya se utiliza en otros países, como Estados Unidos, Canadá, Israel y Reino Unido, entre otros. Sin embargo, Lindorff cree que el éxito del modelo de Singapur está estrechamente relacionado con la cultura educativa, el contexto y la historia de la ciudad-estado. No se cree que se pueda simplemente tomar el método y aplicarlo en otros países. Singapur tiene una historia interesante y única, y es un lugar muy pequeño. Pensar en el cambio educativo en Singapur es diferente a pensar en el cambio en Reino Unido o en Estados Unidos. Los maestros en Singapur tienen perspectivas profesionales más prometedoras y un mejor apoyo en comparación con otros países, y que la actitud de los niños singapurenses hacia la educación matemática también es un factor determinante en el éxito del método.
El genio ciego que reescribió las matemáticas
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La vida de Leonhard Euler se lee como un sueño febril de brillantez: un erudito del siglo XVIII que, a pesar de quedar ciego, se convirtió en el matemático más prolífico de la historia. Nacido en Basilea, Suiza, en 1707, Euler fue un prodigio criado por el legendario Johann Bernoulli. A los 13 años, ya estaba matriculado en la Universidad de Basilea, y a los 20, publicaba trabajos pioneros en matemáticas y física.
La carrera de Euler despegó en la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde sucedió a Daniel Bernoulli como catedrático de matemáticas. Allí, comenzó a producir una avalancha de trabajos que definirían campos enteros: cálculo, teoría de números, mecánica, astronomía e incluso teoría musical. Su obra de 1748, Introductio in analysin infinitorum, introdujo el concepto moderno de función y sentó las bases de la geometría analítica. También nos dio la notación f(x), la constante e y popularizó π, símbolos que ahora están presentes en todos los libros de texto de matemáticas.
Pero el genio de Euler no se limitó a los símbolos. Resolvió el famoso problema de los Siete Puentes de Königsberg, fundando así la teoría de grafos. Abordó el problema de los tres cuerpos en mecánica celeste, avanzó en la dinámica de fluidos e incluso ayudó a la Armada Británica a calcular tablas lunares para la navegación. Su Mecánica (1736) reformuló las leyes de Newton mediante ecuaciones diferenciales, revolucionando la mecánica clásica.
En 1735, Euler perdió la visión de un ojo debido al exceso de trabajo. Para 1766, estaba completamente ciego. Sin embargo, sorprendentemente, su productividad aumentó. Con la ayuda de escribas y su prodigiosa memoria, dictó casi la mitad de sus 866 obras publicadas después de quedarse ciego. Sus cálculos mentales eran tan precisos que en una ocasión recalculó mentalmente toda la órbita lunar.
La vida personal de Euler fue igualmente rica. Tuvo 13 hijos (cinco sobrevivieron a la infancia), mantuvo correspondencia con la realeza y escribió Cartas a una princesa alemana, una lúcida explicación de la física y la filosofía para el público general. Murió en 1783 en San Petersburgo, supuestamente resolviendo un problema de matemáticas pocas horas antes de morir.
El legado de Euler es asombroso. Su nombre adorna docenas de teoremas, fórmulas y constantes. Pierre-Simon Laplace dijo una vez: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros». En un mundo obsesionado con la innovación, Euler nos recuerda que el verdadero genio no solo reside en el descubrimiento, sino en la claridad, la elegancia y la curiosidad incansable.
PrisioneroEnArgentina.com
Julio 4, 2025
Una mente maravillosa
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Una tarde de mediados de septiembre de 1955, John Nash llegó tarde al aula magna del MIT para su conferencia sobre “Análisis matemático para ingenieros”, una asignatura que también era obligatoria para los estudiantes de doctorado especializados en física.
Sin saludar a nadie con la mirada ni con una palabra al entrar, con expresión arrogante y aburrida, sin reparar en el calor sofocante del día, cerró todas las ventanas para poder oír mejor el sonido de su propia voz y evitar que los ruidos externos distrajeran a los estudiantes.
Mientras seguía hablando con su voz monótona y soporífera, el aula se volvió sofocante.
Los estudiantes comenzaron a abanicarse en señal de protesta.
Entonces, primero uno, y luego varios estudiantes se animaron e interrumpieron al profesor, pidiendo permiso para abrir las ventanas.
Nash hizo como si nada hubiera pasado, los ignoró por completo, sin mostrar reacción alguna.
Estaba tan absorto en sí mismo que no escuchó las peticiones de sus alumnos.
Su actitud fría e indiferente parecía decir:
“Callaos y tomad notas”.
En ese momento, Alicia Larde, una de las dos estudiantes de física de la clase de ese año, tomó las riendas de la situación, se puso de pie sobre unos vertiginosos tacones, corrió hacia las ventanas y las abrió de par en par, girando la cabeza cada vez para mirar a Nash.
De vuelta a su asiento, miró directamente a los ojos de Nash, casi retándolo a hablar y cerrar las ventanas.
Pero no lo hizo.
Un amor que, entre altibajos, entre triunfos académicos y oscuros periodos de lucha contra la enfermedad que azotó al genial matemático estadounidense en varias ocasiones durante más de 30 años, duró 60 años, hasta aquel trágico 23 de mayo de 2015.
Aquel día, Nash y su mujer Alicia (que se casó en 1957, se divorció y luego se reunió años después y volvió a casarse) fallecieron juntos en un accidente de coche.
Iban a bordo de un taxi en la Turnpike, una carretera muy ancha, de más de diez carriles, que atraviesa Nueva Jersey.
El taxista perdió el control de su Ford Crown Victoria al intentar adelantar a un Chrysler y se estrelló contra el guardarraíl.
El premio Nobel y su mujer, que al parecer no llevaban puesto el cinturón de seguridad, salieron catapultados fuera del coche.
En un trágico giro del destino, el taxi los llevaba a casa desde el aeropuerto, regresando de la ceremonia del Premio Abel, que Nash y Louis Nirenberg habían ganado por sus descubrimientos que “produjeron técnicas robustas y versátiles que se han convertido en herramientas esenciales para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales”.
PrisioneroEnArgentina.com
Noviembre 6, 2024
El país con la mejor educación del mundo
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En matemáticas, uno de los tres ejes principales de análisis de PISA 2022, los estudiantes de 15 años de Singapur obtuvieron 575 puntos, por encima del promedio de 472 puntos de los 81 países participantes. Las autoridades de Singapur creen que la educación matemática desempeña un papel crucial para enseñar a las personas a pensar de manera lógica y analítica, por lo que desde temprana edad, los niños singapurenses aprenden a desarrollar procesos matemáticos críticos que implican tareas de razonamiento, comunicación y formulación de modelos. El enfoque característico de la enseñanza de las
matemáticas en el país se conoce comúnmente como el “método Singapur” (o Mastery Approach, “enfoque de maestría”). Originalmente desarrollado en la década de 1980 por el Ministerio de Educación de Singapur para las escuelas públicas del país, plantea un cambio de enfoque respecto a la enseñanza tradicional y pasa de la memorización a una comprensión más profunda de lo estudiado. En las últimas décadas, ha sido ampliamente adoptado y adaptado en todo el mundo.
Hay dos ideas fundamentales que subyacen al método de matemáticas de Singapur: el enfoque Concreto, Pictórico, Abstracto (CPA) y la noción de dominio. El enfoque CPA no es exclusivo de las matemáticas de Singapur y fue desarrollado por el psicólogo estadounidense Jerome Bruner en la década de 1960. Se basa en la idea de que los niños o incluso los adultos pueden encontrar las matemáticas difíciles porque son abstractas. Por lo tanto, el enfoque CPA introduce conceptos abstractos de una manera tangible y solo luego progresa a temas más complejos.
En las matemáticas de Singapur, los niños siempre hacen algo concreto. Pueden tener cubos para la suma y juntarlos; pueden hacer algo pictórico; pueden tener algunas imágenes de flores que juntan, o personas o ranas o algo que sea más fácil de relacionar y manejar que solo números.
El enfoque CPA proporciona así una forma de entender las matemáticas a través de estas representaciones. Una vez que los niños demuestran que tienen una comprensión sólida de las etapas concretas y pictóricas del problema matemático, luego avanzan a una etapa abstracta de aprendizaje. El método no depende de la memorización.
Otro pilar del “método de Singapur” es la noción de “dominio”, la idea de que todos los estudiantes en la clase avanzan juntos, asegurando que nadie se quede rezagado. Por ejemplo, cuando los niños aprenden un tema específico como la suma, algunos pueden comprenderlo más rápidamente que otros. Sin embargo, en lugar de pasar a esos estudiantes a un tema completamente diferente, se les asignan actividades adicionales relacionadas con el mismo tema para profundizar su comprensión. Esto no significa que todos tengan que detenerse y esperar hasta que cada estudiante se ponga al día. La idea es que si algunos niños tienen una comprensión muy buena de la suma, el profesor no los llevará directamente a la resta, sino que les dará algo que
amplíe un poco más el concepto de suma. Estas actividades pueden consistir en trabajar con números mayores o en formatos diferentes. Así, los niños que tienen una mejor comprensión resolverán los mismos tipos de problemas que el resto de la clase, pero lo harán de una manera diferente.
En las matemáticas de Singapur es crucial que los estudiantes perciban la materia como importante y accesible. La idea es que todos sean capaces de hacer matemáticas y todos deberían poder dominar ese concepto hasta cierto grado. Algunos pueden ser más rápidos, algunos pueden profundizar un poco más en lo que entienden… A menudo pensamos que algunas personas entienden las matemáticas y otras no; eso no es lo que creo ni lo que subyace en el método de Singapur.
El método ya se utiliza en otros países, como Estados Unidos, Canadá, Israel y Reino Unido, entre otros. Sin embargo, Lindorff cree que el éxito del modelo de Singapur está estrechamente relacionado con la cultura educativa, el contexto y la historia de la ciudad-estado. No se cree que se pueda simplemente tomar el método y aplicarlo en otros países. Singapur tiene una historia interesante y única, y es un lugar muy pequeño. Pensar en el cambio educativo en Singapur es diferente a pensar en el cambio en Reino Unido o en Estados Unidos. Los maestros en Singapur tienen perspectivas profesionales más prometedoras y un mejor apoyo en comparación con otros países, y que la actitud de los niños singapurenses hacia la educación matemática también es un factor determinante en el éxito del método.
PrisioneroEnArgentina.com
Diciembre 8, 2023